Soluzione numerica di equazioni non lineari

Sia data un'equazione della forma:

$$f(x) = 0, \qquad x\in\mathbb{R}, \quad f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$

In generale si possono presentare tre diverse situazioni:

• $f(x)$ ha un numero finito di soluzioni. Si consideri ad esempio: $f(x) = (x-1)(x-2)$
• $f(x)$ non ha soluzioni reali. Ad esempio: $f(x) = x^2 + 1$
• $f(x)$ ha un numero infinito di soluzioni. Ad esempio: $f(x) = \sin(x)$

L'esistenza di una soluzione è garantita dal teorema degli zeri per quelle funzioni che ne soddisfano i requisiti:

Teorema 3.1 (Teorema degli zeri)   Siano due punti $a,b$ e una funzione $f$ tale che:

$$a,b \in \mathbb{R}, \quad f \in C[a,b], \quad f(a)f(b) < 0$$

Allora

$$\exists \xi \in (a,b) : f(\xi) = 0$$

Intuitivamente, la funzione, passando almeno una volta da positiva a negativa all'interno dell'intervallo $[a, b]$, deve necessariamente attraversare l'asse delle ascisse in almeno un punto.

Lemma 3.1   Se $f$ è strettamente crescente o decrescente allora sappiamo che la soluzione è unica.