Metodo delle corde

Il metodo delle corde è un metodo iterativo più efficiente per calcolare le radici di un'equazione non lineare reale e continua in un intervallo chiuso e limitato $[a, b]$ che assuma valori di segno opposto agli estremi dell'intervallo.

Il metodo consiste nel costruire una successione di punti dove, assegnato un punto iniziale $x_0$ $\forall n \le 0$ il punto $x_{n+1}$ sia lo zero della retta passante per il punto iniziale $(x_n, f(x_n))$ e di coefficiente angolare:

$$m = \frac{f(a)-f(x_n)}{a-x_n}$$

ovvero quello della retta passante per $(x_n, f(x_n)), (a, f(a))$. Iterando il procedimento del calcolo dell'intersezione delle varie rette con l'asse delle ascisse, si ottiene la relazione di ricorrenza

$$x_{n+1} = x_n - f(x_n)\frac{a-x_n}{f(a)-f(x_n)}$$

Teorema 3.17 (Convergenza del metodo delle corde.)   Il metodo delle corde converge linearmente se, detta $\alpha$ la soluzione corretta vale

$$0 < \frac{f'(\alpha)}{m} < 2$$

In altri termini $\alpha$ e $f'(\alpha)$ devono avere lo stesso segno e l'intervallo $[a, b]$ deve soddisfare la condizione

$$b-a < 2\frac{f(b)-f(a)}{f'(\alpha)}$$

Negli altri casi il metodo potrebbe non convergere affatto.