Arresto per stima a priori dell'errore

Teorema 3.8   Data una tolleranza $\varepsilon$ decisa arbitrariamente, è possibile individuare a priori un $n$ t.c. $e_n$ possa essere maggiorata da $\varepsilon$:

$$e_n = \vert x_n - \xi\vert \leq \frac{b_n - a_n}{2} \le \varepsilon$$

Lemma 3.3   Per garantire

$$e_n = \vert x_n - \xi\vert \leq \varepsilon$$

Occorre

$$n \ge \log(b-a)-\log(\varepsilon)$$

È importante rilevare che:

Teorema 3.9   Con il metodo di bisezione l'errore non è in generale monotono decrescente.

Dimostrazione 3.1   Come controesempio si consideri una funzione con un unico zero in $2+\frac{3}{4}$.

Preso un intervallo iniziale $[a, b]$ = $[1,5]$, $\lvert x_0 - \xi \rvert = e_0 < e_1 = \lvert x_1 - \xi \rvert$, anche se la situazione migliorerà con $n$ abbastanza grande:

n	$a_n$	$b_n$	$x_n$
0	1	5	3
1	1	3	2
...	...	...	...

<>

$\qedsymbol$