Test di arresto basato su $f'$

Si consideri l'equazione:

$$e_n = \frac{\lvert f(x_n) \rvert}{\lvert f'(z_n) \rvert } < \varepsilon$$

Se si conosce $f'$ è possibile scegliere una costante $C > 0$ predeterminata t.c. $\forall x \in (a,b) : \vert f'(x)\vert \ge C$.

Allora l'errore è così maggiorato:

$$e_n = \frac{\lvert f(x_n) \rvert}{\lvert f'(z_n) \rvert } < \frac{\lvert f(x_n) \rvert}{C} < \varepsilon$$

L'arresto può avvenire dunque quando

$$\vert f(x_n)\vert < \varepsilon \cdot C$$

Esempio 3.1 (Calcolo di $\sqrt{2}$)   Si consideri:

$$f(x) = x^2 - 2$$

La funzione ha una soluzione $\xi$ in $\sqrt{2}$.

Si osserva che $f(1) = -1$, $f(2) = 2$, dunque è possibile scegliere $(a,b) = (1,2)$.

Poichè $f'(x) = 2x$, $f'(x) > 0 \quad \forall x > 0$.

Dunque:

$$\lvert f'(x) \rvert \ge 2 \quad x \in [1,2]$$

Allora la scelta di $C = 2$ garantisce che $f'(x) \ge C$ in $(1,2)$ e:

$$e_n = \vert x_n - \xi\vert = \vert x_n - \sqrt{2}\vert \le \frac{f(x_n)}{C} = \frac{x^2_n - 2}{2} \le \varepsilon$$

Una volta scelto un $\varepsilon$ sarà dunque sufficiente arrestare il calcolo quando

$$\frac{f(x_n)}{C} = \frac{x^2_n - 2}{2} \le \varepsilon$$

Si avrà così la certezza di avere un'approssimazione di $\sqrt{2}$ con errore non superiore a $\varepsilon$.