Convergenza globale e locale

Le ipotesi di convergenza globale garantiscono la convergenza del metodo di Newton per qualsiasi errore iniziale $e_0 = \vert x_0 - \xi\vert$, ma in certi casi possono essere troppo restrittive. Si vorrebbe trovare un valore di $x_0$ sufficientemente vicino alla soluzione da garantire la convergenza in ipotesi meno restrittive.

Sia $\bar{n} = 0$ e $C\,e_0 < 1$ nella ():

$$C\,e_k \leq (C\,e_0)^{2^k},\quad \forall k \geq 0$$

Passando al limite:

$$\lim_{k \to +\infty} C\,e_k \leq \lim_{k \to +\infty} \left(C\,e_0\right)^{2^k}$$

$$\leq 0$$

Il metodo converge per $C\,e_0 < 1$, quindi:

$$C\,e_0 < 1 \implies \vert x_0 - \xi\vert < \frac{1}{C}$$

Ipotesi di convergenza locale:

• $f \in \mathcal{C}^2 \left[ \xi - \delta,\,\xi + \delta \right] = \mathscr{I}$
• $f'(x) \neq 0,\quad \forall x \in \mathscr{I}$
• $x_0 \in \mathscr{I}: \vert x_0 - \xi\vert < \min \{\frac{1}{C},\,\delta\}$

Si noti che le ipotesi di convergenza locale sono meno restrittive in quanto non richiedono convessità e/o concavità strette.