Norma di matrici

Definizione 6.15 (Applicazione lineare)   Sia $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$. Allora è applicazione lineare $L_A$:

$$\begin{split}L_A : \mathbb{R}^{n} & \to \mathbb{R}^{m} \\ x & \mapsto y = Ax \end{split}$$

t.c.:

$$A(\alpha x+\beta y) = \alpha A x + \beta A y$$

Definizione 6.16 (Norma di matrice)   Sia $A \in \mathbb{R}^{n\times m}$,fissata una norma vettoriale, si definisce la norma $\Vert A\Vert$ come:

$$\Vert A \Vert = \sup_{x \neq 0} \frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x\Vert}$$

Da tale definizione si ricava una proprietà fondamentale delle norme matriciali:

Teorema 6.4 (Proprietà fondamentale)   Sia $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, $x \in \mathbb{R}^n$:

$$y = \Vert Ax\Vert \leq \Vert A\Vert \cdot \Vert x\Vert$$

Dimostrazione 6.1   Triviale: significa che, per $x\neq 0$,

$$\frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x\Vert} \leq \Vert A\Vert$$

In pratica:

$$\Vert A\Vert _{\infty} = \sup_{x \neq 0} \frac{\Vert Ax\Vert _{\i... ...\Vert x\Vert _{\infty}} = \max_{1\le i \le n}\sum_{j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert$$

$$\lvert (Ax)_i\rvert = \lvert y_i \rvert = \lvert \sum_{j=1}^n a_{... ...\lvert x_j\rvert \leq \Vert x\Vert _{\infty} \sum_{j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert$$

Quindi

$$\Vert Ax \Vert _{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \lvert (Ax)_i \rvert \ge \frac{\Vert Ax\Vert _{\infty}}{\Vert x\Vert _{\infty}}$$

$\qedsymbol$

Definizione 6.17   La distanza tra due matrici è la norma della differenza:

$$\mathit{dist}(A,B) = \Vert A-B\Vert$$

Esempio 6.1   Con norma infinito la norma matriciale è:

$$\Vert A\Vert _\infty = \max_{1 \le i \le n}\sum_{j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert$$

Esempio 6.2   Con norma euclidea la norma matriciale è:

$$\Vert A\Vert _2 = \sqrt{\rho(A^tA)}$$

dove $\rho$ è il raggio spettrale.

$$\rho(B) = \max\lbrace \lvert \lambda \rvert : \lambda \textit{ autovalore di } B \rbrace$$

$B = A^tA$ simmetrico (autovalore reale) e ha autovalori $\ge 0$.