Norme

Definizione 6.6 (Norma vettoriale)   Una norma su uno spazio vettoriale reale $R^n$ è una funzione

$$\begin{matrix}\Vert \cdot \Vert:& \mathbb{R}^n & \longrightarrow & [0,+\infty)\\ \end{matrix}$$

tale che $\forall x,y \in \mathbb{R}^n$:

1. $\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+ \Vert y \Vert$ (D.T.)
2. $\Vert x \Vert=0 \Leftrightarrow x=0$
3. $\Vert \alpha x \Vert=\abs{\alpha} \Vert x \Vert$

Definizione 6.7 (Distanza indotta da una norma)  

$$\mathit{dist}\Vert\cdot\Vert = \mathit{dist}(x,y) = \Vert x - y\Vert$$

Per definizione la distanza è simmetrica

Definizione 6.8 (Norma uno)  

$$\Vert x\Vert _1 = \sum_{i=1}^m \lvert x_i \rvert$$

Con $m=2$ trivialmente $\Vert x\Vert _1 = \vert x_1\vert+\vert x_2\vert$

Definizione 6.9 (Norma due o Euclidea)  

$$\Vert x\Vert _2 = \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}$$

Definizione 6.10 (2-distanza)  

$$\mathit{dist}_2(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}$$

Definizione 6.11 (Norma infinito)  

$$\Vert x\Vert _\infty = \max_{1 \le i \le n} \lvert x_i \rvert$$

Definizione 6.12 ($\infty$-distanza)  

$$\mathit{dist}_\infty (x,y) = \max\lbrace\lvert \lvert x_1 - y_1 \... ... y_2 \rvert\rbrace = \max_{1 \le i \le n} \lbrace\lvert x_i -y_i \rvert\rbrace$$

Si consideri un intorno $\mathscr{I}_\varepsilon$ di $x$ con raggio $\varepsilon$ rispetto a una distanza:

$$\mathscr{I}_\varepsilon(x) = \lbrace y \in \mathbb{R}^n : \mathit{dist}(y,x) \leq \varepsilon \rbrace$$

Visivamente, possiamo immaginare:

• Un intorno in norma due come cerchi di raggio $\varepsilon$
• Un intorno in norma infinito come quadratini di lato $2\varepsilon$
• Un intorno in norma uno come rombi di lato $2\varepsilon$

Definizione 6.13 (Norme equivalenti)  

Siano due norme

$$\Vert x\Vert _a \Vert x\Vert _b$$

Esse si dicono equivalenti se:

$$\exists c_1, c_2 > 0: c_2 \Vert x\Vert _b \le \Vert x\Vert _a \le c_1 \Vert x\Vert _b$$

Teorema 6.1   In uno spazio vettoriale finito-dimensionale tutte le norme sono equivalenti

Teorema 6.2  

$$\lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x \Leftrightarrow \mathit{dist}(x^{(k)}, x) \to_{k \to \infty} 0$$

ossia

$$\Vert x^{(k)} -x\Vert = \Vert x-x^{(k)}\Vert$$

Definizione 6.14 (Limite di una successione)  

Sia una successione

$$( x^{(k)})$$

allora

$$\forall \varepsilon > 0 : \exists N(\varepsilon) : \mathit{dist}(x^{(k)}, x) \leq \varepsilon \qquad \forall n \ge N(\varepsilon)$$

$x$ è limite della successione.

Teorema 6.3 (Proprietà fondamentale delle successioni)   Una successione è convergente se e solo se ogni sua sottosuccessione è convergente.

$$\lim_{k \to \infty}x^{(k)}=x \Leftrightarrow \lim_{k \to \infty} x_i^{(k)} = x_i \qquad 1 \leq i \leq n$$

Ciò implica la convergenza elemento per elemento.

Lemma 6.1  

Siano

$$c_1 = \frac{1}{\sqrt{n}}, \ c_2 = 1$$

Allora

$$\frac{\Vert x\Vert _2}{\sqrt{n}} \le \Vert x\Vert _{\infty} \le \Vert x\Vert _2$$

Lemma 6.2  

$$\begin{split} \Vert x\Vert _2 & = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + ... ...\max(\lvert x_i \rvert)^2}} \\ & = \sqrt{n} \max{\Vert x_i\Vert} \end{split}$$