Integrazione numerica con dati perturbati

La stabilità dell'integrazione numerica è data da:

$$\abs{\int_b^a f(x)dx - \int_b^a \tilde{f}(x)dx} \le \mathit{dist}(f,\tilde{f})(b-a)$$

Se la funzione approssimatrice è polinomiale a tratti $\Pi_1^c$ si ha

$$\abs{\int_b^a f(x)dx - \int_b^a \Pi_1^c(x)dx} \le \mathit{dist}(f,\Pi_1^c)(b-a)$$

Spesso si hanno dati perturbati; la funzione da integrare $f$ non è nota analiticamente, ma si conosce una sua approssimazione $\tilde{f}$

$$I_n(f) = \sum_{i=0}^nw_iy_i$$

$$I_n(\tilde{f}) = \sum_{i=0}^nw_i \tilde{y}_i$$

Analogamente, al posto dei valori $y_i$ si conoscono dei valori approssimati $\tilde{y}_i$ tali che

$$\abs{ \tilde{y}_i -y_i } \le \varepsilon$$

Si ha che

$$\begin{split} I(f) - I_n(\tilde{f}) & = I(f) - I_n(\tilde{f}... ...brace{I_n(f) - I_n(\tilde{f})}_{\text{stabilit\\lq a}} \end{split}$$

Si deve allora verificare la stabilità dell'operazione che dipende dall'espressione $I_n(f) - I_n(\tilde{f})$

$$\begin{split} \abs{ I_n(f) - I_n(\tilde{f}) } & = \abs{ \sum... ...lon \underbrace{\sum_{i = 0}^n\abs{w_i}}_{\alpha_n} \end{split}$$

Nel caso di funzione a tratti

$$\mathit{dist}(\Pi_n, \tilde{\Pi}_n) \le \varepsilon\Lambda_n$$   con $$\Lambda_n = \max_{x\in[a,b]} \sum_{i=0}^n\abs{ l_i(x)}$$

Si può allora dimostrare:

Teorema 5.6   Le formule a pesi positivi sono stabili

Dimostrazione 5.2   Avendo $\alpha_n = \sum_{i=0}^n\abs{w_i}$ positiva

$$\sum_{i=0}^n\abs{ w_i } = \sum_{i=0}^n w_i = \sum_{i=0}^n w_i \cdot 1 = I_n(1)$$

e dunque

$$\begin{split} \abs{ I_n(f) - I_n(\tilde{f}) } & = \abs{ \sum... ...silon \sum_{i = 0}^n\abs{w_i} = \varepsilon \cdot C \end{split}$$

$\qedsymbol$

Osservazione 5.1   Le formule di quadratura algebriche sono esatte su tutti i polinomi di grado $\le n$ (l'interpolatoria è il polinomio stesso); Le formule di quadratura composte sono esatte su tutti i polinomi di grado $\le s$ (lineari per grado $\le 1$, quadratiche per grado $\le 2$). In generale le formule di integrazione su $y = 1$ (grado $= 0$) sono esatte, pertanto

$$\sum_{i = 0}^n w_i = \int_b^a 1 dx = b-a$$

$\alpha_n$ non solo è limitata, ma è addirittura costante ($b-a$). L'errore può quindi aumentare al massimo della lunghezza dell'intervallo.