Derivazione numerica

La derivazione numerica si occupa di derivare funzioni a partire da approssimazioni di esse.

Teorema 5.7   La derivazione numerica non è in generale stabile.

Vi sono due approcci principali alla derivazione numerica:

1. Globale: si cerca di approssimare $f'$ su tutto l'intervallo $[a,\,b]$ tramite interpolazione spline.
2. Locale: calcolo $f'$ tramite rapporto incrementale su un punto.

Per definizione di derivata, si ha:

$$\delta_+(h) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \delta_+(h)$$

Sia $f \in \mathcal{C}^2$ in un intorno di $x$. Applicando la formula di Taylor si ha:

$$f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2}f''(z), \qquad z \in (x,\,x+h)$$

Il rapporto incrementale $\delta_+(h)$ si può esprimere come:

$$\delta_+(h) = f'(x) + \underbrace{\frac{h}{2}f''(z)}_{O(h)}$$

Sia $f$ approssimata da $\tilde{f}$, con un errore maggiorabile con un $\varepsilon$ fissato:

$$\left\vert f(x) - \tilde{f}(x) \right\vert \leq \varepsilon$$

Si ha di conseguenza un rapporto incrementale approssimato $\tilde{\delta}_+$:

$$\tilde{\delta}_+(h) = \frac{\tilde{f}(x+h) - \tilde{f}(x)}{h}$$

Si può analizzare la stabilità sviluppando l'espressione dell'errore:

$$f'(x) - \tilde{\delta}_+(h) = \underbrace{f'(x) - \delta_+(h)}_{\... ...rgenza}} + \underbrace{\delta_+(h) - \tilde{\delta}_+(h)}_{\text{stabilit\\lq a}}$$

$$\left\vert \delta_+(h) - \tilde{\delta}_+(h) \right\vert = \left\vert \frac{f(x+h) -f(x)}{h} - \frac{\tilde{f}(x+h) - \tilde{f}(x)}{h} \right\vert$$

$$= \left\vert \frac{f(x+h) - \tilde{f}(x+h) + \tilde{f}(x) - f(x)}{h} \right\vert$$

$$\overset{D.T.}{\leq} \left\vert \frac{f(x+h)-\tilde{f}(x+h)}{h} \right\vert + \left\vert \frac{\tilde{f}(x) -f(x)}{h} \right\vert$$

$$\leq \frac{\varepsilon}{h} + \frac{\varepsilon}{h} = \frac{2 \, \varepsilon}{h}$$

Quindi:

$$\left\vert f'(x) - \tilde{\delta}_+(h) \right\vert \leq \left\ver... ..._+(h) - \tilde{\delta}_+(h) \right\vert \leq \frac{2 \, \varepsilon}{h} + O(h)$$

Sia $g(h) \overset{def.}{=} \frac{2 \, \varepsilon}{h} + O(h)$. Si noti che per $h$ molto piccolo, l'errore diventa molto grande.

Si deve trovare $h^* = \min_{h} g(h) = \min_{h} c h +\frac{2\,\varepsilon}{h}$:

$$g'(h) = c - \frac{2 \, \varepsilon}{h^2} = 0 \implies \frac{h^2}{2 \, \varepsilon} = \frac{1}{c}$$

$$\implies h^2 = \frac{2 \, \varepsilon}{c}$$

$$\implies h = h^* = \sqrt{\frac{2 \, \varepsilon}{c}} = O(\sqrt{3})$$

Sia quindi $\min_h g(h) = g(h^*)$.

$$g(h^*) = ch^* + \frac{2 \, \varepsilon}{h^*}$$

$$= 2 \sqrt{2 c} \sqrt{\varepsilon}$$

$$= O\left(\sqrt{\varepsilon}\right)$$

Funzioni arbitrariamente vicine possono avere derivata molto diversa.

Si può ottenere una stima migliore considerando un ordine in più nella formula di Taylor:

$$\begin{aligned} f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) + \... ...2}{2}f''(x) - \frac{h^3}{3!}f^{(3)}(z) \end{aligned} \qquad z \in (x-h,\,x+h)$$

$$f(x+h) -f(x-h) = 2h f'(x) + \frac{h^3}{3}f^{(3)}(z)$$

Calcolando il rapporto incrementale simmetrico $\delta(h)$, risulta:

$$\delta(h) = \frac{f(x+h) -f(x-h)}{2h} = \frac{1}{2h}\, 2h f'(x) + \frac{1}{2h}\,\frac{h^3}{3}f^{(3)}(z)$$

$$= f'(x) + O(h^2)$$

Inoltre, si vede che:

$$\delta(h) - f'(x) = O(h^2)$$

$$\left\vert \delta(h) - \tilde{\delta}(h) \right\vert \leq \frac{2 \, \varepsilon}{2 h} = \frac{\varepsilon}{h}$$

L'errore risulta:

$$\left\vert f'(x) - \tilde{\delta}(h) \right\vert \leq \left\vert f'(x) - \delta(h) \right\vert + \left\vert \delta(h) - \tilde{\delta}(h) \right\vert$$

$$\leq O(h^2) + \frac{\varepsilon}{h} = g(h)$$

$$h^* = O\left(\sqrt[3]{\varepsilon}\right),\qquad g(h^*) = O\left(\sqrt[3]{\varepsilon^2}\right)$$