Convergenza dell'interpolazione polinomiale a tratti

Teorema 4.6 (Convergenza uniforme dell'interpolazione polinomiale a tratti)  

Sia $f \in C^{s+1}\left[a,\,b\right]$, con $n$ multiplo di $S$, allora:

$$\mathit{dist}\left(f,\,\Pi_s^c\right) \leq C_{s+1} \cdot h^{s+1}$$

dove in $C_{s+1}$ compare $f^{(s+1)}$.

Lemma 4.16 (Convergenza uniforme dell'interpolazione lineare a tratti)   Sia $f \in \mathcal{C}^2 \left[ a,\,b \right]$. Allora,

$$\mathrm{dist}\left( f,\, \Pi_1^C \right) \leq c \cdot h^2, \qquad h = \max_{0 \leq i < n} \Delta x_i$$

$&sstarf#star;$ Dimostrazione 4.3 (Per grado 1)   Sia $I_i = \left[ x_i,\,x_{i+1}\right]$. Allora,

$$\mathrm{dist} (f,\,\Pi_1^C) = \max_{x \in [a,\,b]} \left\vert f(x) - \Pi_1^C(x)\right\vert$$

$$= \max_{0 \leq i < n} \; \max_{x \in I_i} \left\vert f(x) - \Pi_{1,\,i}^C(x) \right\vert$$ (5)

Si rammenti che l'errore in forma di Lagrange (vedi 3) è:

$$E_n = f(x) - \Pi_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \, (x - x_0)(x - x_1) \dots (x - x_n)$$

Allora, con $n=1$:

$$f(x) - \Pi_{1,\,i}^C(x) = \frac{f^{(2)}(\xi_i)}{2!} \, (x - x_i)\,(x - x_{i+1})$$

$$\max_{x \in I_i} \left\vert f(x) - \Pi_{1,\,i}^C(x) \right\vert \leq \frac{1}{2} \max_{x \in I_i} f''(x) \, \left( \Delta x_i \right)^2$$

Sostituendo nella (5), si ha:

$$\max_{0 \leq i < n} \frac{1}{2} \max_{x \in I_i} f''(x) \, \left( \Delta x_i \right)^2 \leq \frac{1}{2} \left( \max_{x \in (a,\,b)} f''(x) \right) \, h^2$$

$$\leq c \cdot h^2 = O(h^2)$$

$\qedsymbol$