Stabilità dell'interpolazione polinomiale

Posto $y_i = f(x_i)$, spesso si avranno a disposizione dei valori approssimati $\widetilde{y_i}$ invece di $y_i$, dovuto ad esempio all'errore commesso dal calcolatore nel valutare $f(x_i)$.

Si supponga di poter stimare un valore massimo $\varepsilon$ di tale errore sui dati:

$$\max \abs{\widetilde{y_i} - y_i} \leq \varepsilon$$

Si indicherà con $\widetilde{\Pi}_n$ il polinomio interpolatore calcolato con $\widetilde{y_i}$.

Allora:

$$\max_{x \in [a,\,b]} \left\vert \, \Pi_n - \widetilde{\Pi}_n \right\vert = \left\vert \, \sum_{i=0}^{n}y_i\,l_i(x)-\sum_{i=0}^{n}\widetilde{y_i}\,l_i(x) \right\vert$$

$$= \left\vert \, \sum_{i=0}^{n} \left(y_i - \widetilde{y_i}\right)\,l_i(x) \right\vert$$

Sapendo che $\abs{\widetilde{y_i} - y_i} \leq \varepsilon$ e applicando la disuguaglianza triangolare, si ha:

$$\left\vert \, \sum_{i=0}^{n} \left(y_i - \widetilde{y_i}\right)\,l_i(x) \right\vert \overset{D.T.}{\leq} \sum_{i=0}^{n} \left\vert y_i - \widetilde{y_i} \right\vert\,\left\vert l_i(x) \right\vert$$

$$\leq \varepsilon \underbrace{\max_{x \in [a,\,b]} \sum_{i=0}^{n} \left\vert l_i(x) \right\vert}_{\Lambda_n}$$ (4)

Il valore $\Lambda_n$ è chiamato costante di Lebesgue. Allora,

$$\max_{x \in [a,\,b]} \left\vert \, \Pi_n - \widetilde{\Pi}_n \right\vert \leq \varepsilon \, \Lambda_n$$

Lemma 4.10   $\Lambda_n$ dipende unicamente dal prodotto di LaGrange, e quindi dai nodi.

Inoltre, si ha che:

Lemma 4.11   Su nodi equidistanti, $\Lambda_n \approx \frac{2^n}{n \log n} \approx 2^n$

Lemma 4.12   Su nodi di Chebyshev, $\Lambda_n \approx \log n$.

Di conseguenza:

Lemma 4.13   Con distribuzione equidistante, l'interpolazione polinomiale reagisce in modo instabile alle perturbazioni sul campionamento della funzione da interpolare

Lemma 4.14   L'interpolazione polinomiale risulta sostanzialmente stabile con la distribuzione di Chebychev.