Nodi di Chebychev

Definizione 4.8 (Nodi di Chebychev)   Siano $n$ angoli equispaziati compresi tra 0 e $\pi$:

$$\Theta_i = i\frac{\pi}{n}\qquad 0\le i\le n$$

Si chiamano nodi di Chebychev l'insieme delle loro proiezioni sulla circonferenza:

$$t_i = -\cos (\Theta_i) = -\cos\left(\frac{i\pi}{n}\right) \qquad 0\le i\le n$$

Su un intervallo $[a, b]$:

$$x_i^{\text{cheb}} = \underbrace{\frac{b+a}{2}}_{\text{centro}}+\u... ...^{\text{cheb}} = \frac{b+a}{2} - \frac{b-a}{2} \cos\left(\frac{i\pi}{n}\right)$$

Osservazione 4.1   È apparente che in prossimità degli estremi i nodi si addensano.

Definizione 4.9 (Polinomio interpolatore di Chebychev)   È possibile scrivere il polinomio interpolatore in forma di Lagrange nel seguente modo, ponendo $l_i^{cheb} = \varphi_i$:

$$\Pi_n^{\text{cheb}}(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i^c) l_i^c(x)$$

Teorema 4.4 (Esistenza e unicità del polinomio interpolatore di Chebychev)   Come banale conseguenza dell'essere in forma di Lagrange, il polinomio interpolatore esiste ed è unico.

Teorema 4.5 (Convergenza dell'interpolazione con nodi di Chebychev)   Se $f \in C^K[a,b], K \ge 1$ l'interpolazione con i nodi di Chebychev converge.

Lemma 4.8   La convergenza con i nodi di Chebychev è uniforme.

Lemma 4.9   Più volte la $f$ è derivabile, più sarà veloce la sua convergenza.

Dimostrazione 4.5   Se $f \in C^K[a,b], K \ge 1$:

$$\abs{E_n(x)} = \abs{\mathit{dist}(f, \Pi_n^{\text{cheb}})} \leq M_k \frac{\log n}{n^k}$$

Poichè $M_k$ è costante:

$$\lim_{n\to \infty} \abs{E_n(x)} = \frac{\log n}{n^k} = 0$$

$\qedsymbol$