Stima dell'errore di rappresentazione

Teorema 2.5 (Maggiorazione dell'errore assoluto di rappresentazione)  

$$\Delta x = \vert x - fl^t(x)\vert \le \frac{b^{p-t}}{2}$$

Dimostrazione 2.4   Si vuole calcolare un limite superiore per l'errore assoluto derivante dall'impiego di un rappresentante $fl^t(x)$ con $t$ cifre di mantissa in luogo di $x$:

$$\Delta x = \abs{x - fl^t(x)}$$

Per definizione, è possibile scrivere:

$$\begin{split} \Delta x & = \lvert x - fl^t(x) \rvert \\ & = (0.d_1d_2...d_t...)b^p - (0.d_1d_2...\tilde{d}_t)b^p \end{split}$$

Per il Teorema 2.4:

$$\begin{split}\Delta x &= b^p \underbrace{((0.d_1d_2...d_t...... ..._{\le \frac{b^{-t}}{2}} \\ & \le \frac{b^{p-t}}{2} \end{split}$$

$\qedsymbol$

L'errore dipende da $p$. Si nota che se $p \to L$ l'errore aumenta mentre se $p \to U$ l'errore diminuisce. Questo è desiderabile, poichè mantiene l'errore relativo costante.

Teorema 2.6 (Maggiorazione dell'errore relativo di rappresentazione)   Esiste un maggiorante dell'errore relativo di rappresentazione $\varepsilon_m$ t.c.:

$$e = \frac{\lvert x - fl^t(x) \vert}{\lvert x \rvert} \le \varepsilon_m = \frac{b^{1-t}}{2}$$

Tale maggiorante $\varepsilon_m$ è chiamato precisione di macchina ed è il massimo errore relativo di arrotondamento.

Lemma 2.6  

$$\varepsilon_m \gg \min\mathbb{F}^+$$

$&sstarf#star;$ Dimostrazione 2.1  

$$e = \frac{\lvert x - fl^t(x) \vert}{\lvert x \rvert} \le \frac{b^{p-t}}{2 \lvert x \rvert} \qquad x \ne 0$$

Per la definizione 2.5, la più piccola mantissa è $(0.1)_b$.

Allora, per $p$ fissato:

$$\lvert x \rvert \ge (0.1)_b b^p = b^{-1}b^p = b^{p-1}$$

quindi:

$$\frac{1}{\lvert x \rvert} \le b^{1-p}$$

Segue:

$$e = \frac{b^{p-t}}{2\abs{x}} \le \frac{b^{p-t}}{2}b^{1-p} = \frac{b^{1-t}}{2} = \varepsilon_m$$

$\qedsymbol$