Troncamento di un numero

La necessità della rappresentazione con troncamento è data dalle seguenti osservazioni:

Lemma 2.2   I numeri con parte frazionaria finita, in qualche base, sono razionali.

Lemma 2.3   Per i numeri razionali il numero di cifre dopo la virgola dipende dalla base.

Ad esempio: $\frac{1}{3} = (0.\bar3)_{10}$ e $(0.1)_3$

Lemma 2.4   Se $x$ è irrazionale (ad esempio $\sqrt{2}$ o $\pi$) allora, necessariamente, su qualsiasi base deve avere infinite cifre dopo la virgola.

Allora si definisce:

Definizione 2.3 (Troncamento $\tilde{x}_n$)   Sia

$$x = \mathit{sign}(x)(\alpha_m\alpha_{m-1}...\alpha_1\alpha_0.\alpha_{-1}\alpha_{-2}...)$$

Il troncamento all'$n$-sima cifra $\tilde{x}_n \in \mathbb{Q}$ è:

$$\tilde{x}_n = \mathit{sign}(x)\biggl( \sum_{j=0}^m a_jb^j + \sum_{j=1}^n a_{-j}b^{-j} \biggr)$$

Lemma 2.5 (Errore assoluto nel troncamento)   È possibile scrivere:

$$x = \mathit{sign}(x)\biggl(\sum_{j=0}^m a_jb^j + \sum_{j=1}^n a_{-j}b^{-j} \biggr) + \mathit{sign}(x) \sum_{j=n+1}^\infty a_{-j}b^{-j}$$

e denotare $\Delta x$ così:

$$\Delta x = \Big \lvert \mathit{sign}(x) \sum_{j=n+1}^\infty a_{-j}b^{-j} \Big \rvert = \sum_{j=n+1}^\infty a_{-j}b^{-j}$$