Stima dell'errore nel troncamento

Teorema 2.3  

$$\Delta x = \lvert x - \tilde{x}_n\rvert \leq b^{-n}$$

Dimostrazione 2.2   È possibile scrivere:

$$\Delta x = \lvert x - \tilde{x}_n \rvert = \sum_{j=n+1}^\infty a_{-j}b^{-j} \le (b-1)\sum_{j=n+1}^\infty b^{-j}$$

Dove:

$$\begin{split} \sum_{j=n+1}^\infty b^{-j} \le \sum_{j=0}^\infty b^... ...-b^{n+1})}{b-1} = \frac{b-b+b^{-n}}{b-1} \\ & = \frac{b^{-n}}{b-1} \end{split}$$

Allora:

$$\Delta x \leq (b-1)\sum_{j=n+1}^\infty b^{-j} \leq (b-1)\frac{b^{-n}}{b-1} = b^{-n}$$

$\qedsymbol$

Esempio 2.1   Si verifica che $(0.\bar{3})_{10} = \frac{1}{3}$:

$$\begin{split}(0.\bar{3})_{10} &= \sum_{j=1}^{\infty} 3 \cdot ... ... \right) = 3 \left(\frac{1}{9}\right) = \frac{1}{3} \end{split}$$ (1)