Rappresentazione dei numeri reali su base arbitraria

Teorema 2.1   Dato $x\in\mathbb{R}$, fissata una base $b\in\mathbb{N}$ con $b > 1$ è sempre possibile riscrivere $x$ come:

$$x = \mathit{sign}(x)\biggl(\underbrace{\sum_{j=0}^m a_jb^j}_{\tex... ... \underbrace{\sum_{j=1}^\infty a_{-j}b^{-j}\biggr)}_{\text{parte frazionaria}}$$

avendo la parte reale $\sum_{j=0}^m a_jb^j \in \mathbb{Z}$, la parte frazionaria $\sum_{j=1}^\infty a_{-j}b^{-j}\in[0,1]$ e le cifre $a_j \in [0,b-1]$

La rappresentazione può essere riscritta come:

$$x = \mathit{sign}(x)(\alpha_m\alpha_{m-1}...\alpha_1\alpha_0.\alpha_{-1}\alpha_{-2}...).$$

Lemma 2.1   La parte frazionaria $\sum_{j=1}^{+\infty} a_{-j}b^{-j}$ converge.

Dimostrazione 2.1  

Poichè $a_j \in [0,b-1]$ vale:

$$a_{-j}b^{-j} \leq (b-1)(b^{-j})$$

È noto:

Teorema 2.2 (Criterio del confronto)  

$$a_n \leq b_n \Rightarrow \sum a_n \leq \sum b_n$$

Allora:

$$\sum a_{-j}b^{-j} \leq \sum (b-1)(b^{-j}) = (b-1) \sum b^{-j}$$

È nota la seguente proprietà delle serie geometriche:

$$S_n = \sum_{j=0}^N a_j, a \in \mathbb{R}^+$$

$$\begin{cases}a=1 \Rightarrow S_n = N+1 \\ a = -1 \Rightarrow S_n... ...rt > 1 : \text{diverge} \\ Vert a\vert<1 : \frac{1}{1-a} \end{cases}\end{cases}$$

Allora, poichè $b > 1 \Rightarrow \forall j > 1 : b^{-j} < 1$

$$\sum a_{-j}b^{-j} \leq \sum (b-1)(b^{-j}) = (b-1) \sum b^{-j} < \infty$$

$\qedsymbol$