Pivoting e stabilizzazione

Il pivoting - ossia lo scambio preliminare tra righe - è importante per la stabilizzazione dell'algoritmo:

Si consideri:

$$Ax = b \Leftrightarrow PAx = Pb$$

Poichè $PA = LU$:

$$\begin{split}Ax = b & \Leftrightarrow PAx = Pb \\ & = LUx = Pb \\ & \Leftrightarrow Ux = \underbrace{PL^{-1}b}_{\beta} \end{split}$$

È allora possibile risolvere il sistema trasformandolo in due sistemi triangolari nel seguente modo:

$$\begin{cases}Ly = Pb \\ Ux = y \end{cases}$$