Condizionamento del calcolo soluzioni di equazioni di secondo grado

La soluzione delle equazioni di secondo grado è un problema ben condizionato, ma l'usuale formula può portare a perdita di precisione.

Si consideri l'equazione di secondo grado:

$$ax^2 +bx+c = 0 \qquad a\ne0$$

$$\Delta = b^2-4ac > 0 \Rightarrow x_\pm = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Esistono due possibili casi:

$$\begin{cases} b > 0 : x_+ = \frac{\sqrt\Delta -b}{2a} \\ b < 0 : x_- = \frac{-b -\sqrt\Delta}{\vert 2a \rvert} \end{cases}$$

Nel primo caso al numeratore si presenta una sottrazione.

Se dovessero essere $b$, $a$, $c$ tali che $b^2 \gg \lvert 4ac \rvert$ allora (in termini relativi):

$$\Delta = b^2 \ominus 4ac \approx b^2$$

Allora $\sqrt{\Delta} \approx b$ e a causa delle proprietà della sottrazione in macchina $\ominus$ si avrebbe perdita di precisione nel calcolo di $\sqrt{\Delta} - b$:

$$\sqrt{\Delta} \ominus b \to 0$$

È però sufficiente manipolare algebricamente l'$x_+$ problematico per rimuovere l'operazione instabile:

$$x_+ = \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a} = \frac{\sqrt\Delta - b}{2a} \fra... ...Delta+b} = \frac{\Delta - b^2}{2a(\sqrt\Delta+b)} = \frac{-2c}{\sqrt\Delta +b}$$

Dunque

Definizione 2.11 (Formula risolutiva stabilizzata per le equazioni di secondo grado)  

$$x_1 = -\mathit{sign}(b)\frac{2c}{\vert b \rvert + \sqrt\Delta}$$

$$x_2 = -\mathit{sign}(b)\frac{\lvert b \rvert + \sqrt\Delta}{2a}$$

Esempio 2.5   Siano $b = 10$, $t=4$:

$$x^2 + 10x - 1 = 0$$

$$\tilde{x}_+ = \frac{\overbrace{\sqrt{10^4 + 4}}^{10^4+4 \approx 10^4} \ominus 10^2}{2} = 0$$

$$e = \frac{\lvert x_+ - \overbrace{\tilde{x}_+}^{\to 0} \rvert }{ \lvert x_+ \rvert} = 1 \Rightarrow 100\%$$

Esempio 2.6   Siano $t = 16$, $\varepsilon_m = \frac{10^{-15}}{2}$ (condizioni simili a Matlab):

$$10^{-2}x^2 + 10^4 x - 10^{-2} = 0$$

$$\tilde{x}_+ = \frac{\sqrt{10^8+4\cdot 10^{-4}} - 10^ 4}{2 \cdot 10^{-2}}$$

$$e = \frac{\lvert x_+ - \tilde{x}_+ \rvert }{ \lvert x_+ \rvert} = 1.1 \cdot 10^{-5}$$

Si perdono ossia 10 ordini di grandezza.