Condizionamento delle operazioni elementari

Interessa sapere in che modo un errore su (la rappresentazione approssimata de) i dati iniziali del problema può influenzare il risultato finale.

Si vuole ossia ossia studiare il condizionamento di un'operazione - se piccoli errori nei dati in ingresso causino piccoli o grandi errori nel risultato e se le operazioni siano dunque stabili o meno.

Siano $x,y \in \mathbb{R}$ e $\tilde{x} \approx x, \ \tilde{y} \approx y$, si definisce allora:

$$\varepsilon_x = \frac{\lvert x - \tilde{x} \rvert}{\lvert x \rver... ...silon_y = \frac{\lvert y - \tilde{y} \rvert}{\lvert y \rvert} \qquad x,y \ne 0$$

Poichè $\tilde{x} = fl^t(x)$ segue per definizione di $\varepsilon_m$ che $\varepsilon_x \le \varepsilon_m$.

Si vuole trovare, per ciascuna operazione, un limite superiore per

$$\frac{\lvert (x \odot y) - (\tilde{x} \odot \tilde{y}) \rvert}{\lvert x \odot y \rvert} \qquad x \odot y \ne 0$$

L'errore necessariamente introdotto dalla rappresentazione del risultato è trascurabile:

$$x \odot y = \underbrace{fl^t}_{\text{trascurabile}}(fl^t(x) \odot fl^t(y))$$

Teorema 2.10 (Stabilità del prodotto)   Il prodotto è un'operazione stabile:

$$\frac{\lvert x y - \tilde{x}\tilde{y} \rvert}{\lvert xy \rvert} \... ...}{\abs{x}} \varepsilon_y \approx \varepsilon_x + \varepsilon_y \qquad xy \ne 0$$

$&sstarf#star;$ Dimostrazione 2.2   Si può riscrivere

$$\frac{\lvert x y - \tilde{x}\tilde{y} \rvert}{\lvert xy \rvert} = \frac{\lvert xy -\tilde{x}y + \tilde{x}y - \tilde{x}\tilde{y}\rvert}{xy}$$

È possibile applicare la disuguaglianza triangolare ( $\lvert a + b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$) su

$$\frac{\lvert \overbrace{xy -\tilde{x}y}^{a} + \overbrace{\tilde{x}y - \tilde{x}\tilde{y}}^b\rvert}{xy}$$

e scrivere

$$\begin{split} \frac{\lvert xy -\tilde{x}y + \tilde{x}y - \t... ...rt \tilde{x} \rvert}{\lvert x \rvert}\varepsilon_y \end{split}$$

E poichè

$$\frac{\lvert \tilde{x} \rvert}{\lvert x \rvert} = \frac{{\lvert \... ... x \rvert}} + \frac{{\lvert x \rvert}}{{\lvert x \rvert}} = \varepsilon_x + 1$$

Si può scrivere

$$\frac{\lvert x y - \tilde{x}\tilde{y} \rvert}{\lvert xy \rvert} \... ...x} \rvert}{\lvert x \rvert}\varepsilon_y \approx \varepsilon_x + \varepsilon_y$$

L'errore sul prodotto resta dunque dello stesso ordine di grandezza degli errori sui dati.

$\qedsymbol$

Teorema 2.11   Il reciproco è un'operazione stabile:

$$\frac{\frac{1}{x}- \frac{1}{\tilde{x}}}{\frac{1}{x}} \approx \varepsilon_x$$

Teorema 2.12 (Stabilità dell'addizione)   La somma algebrica è stabile quando rappresenta un'addizione:

$$\frac{\lvert (x +y) - (\tilde{x} +\tilde{y}) \rvert }{{\lvert x +... ...} \le \varepsilon_x + \varepsilon_y \qquad \mathit{sign}(x) = \mathit{sign}(y)$$

Teorema 2.13 (Stabilità della sottrazione)   La somma algebrica non è stabile quando rappresenta una sottrazione.

Corollario 2.1   La sottrazione tra due numeri prossimi in termini relativi è in particolare estremamente perturbata.

$&sstarf#star;$ Dimostrazione 2.3 (Addizione)   Si riscrive per prima cosa:

$$\begin{split} \frac{\lvert (x +y) - (\tilde{x} +\tilde{y}) \... ...uad w_2 = \frac{\lvert y \rvert}{\lvert x+y \rvert} \end{split}$$

Allora, $\mathit{sign}(x) = \mathit{sign}(y)\Rightarrow w_1, w_2 \le 1$, e dunque:

$$\frac{\lvert (x +y) - (\tilde{x} +\tilde{y}) \rvert }{{\lvert x + y \rvert}} \le 1 \cdot \varepsilon_x + 1 \cdot \varepsilon_y$$

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$&sstarf#star;$ Dimostrazione 2.4 (Sottrazione)  

$$\begin{split} \frac{\lvert (x +y) - (\tilde{x} +\tilde{y}) \... ...uad w_2 = \frac{\lvert y \rvert}{\lvert x+y \rvert} \end{split}$$

In caso di addendi di segno discorde: $\mathit{sign}(x) \neq \mathit{sign}(y) \Rightarrow 0 \le w_1, w_2 < \infty$. In particolare, se $\lvert x \rvert \approx \lvert y \rvert$ allora $w_1, w_2 \gg 1$.

Poichè:

$$\lvert x + y \rvert \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{\lvert x \rve... ... x + y \rvert}, \frac{\lvert y \rvert}{\lvert x + y \rvert} \rightarrow \infty$$

Allora:

$$\lvert x + y \rvert \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{\lvert (x +y)... ...t x + y \rvert}} \leq w_1(x,y)\varepsilon_x + w_2(x,y)\varepsilon_y \to \infty$$

$\qedsymbol$