Formule di quadratura algebriche

Le formule di quadratura algebriche utilizzano, per l'approssimazione un polinomio interpolatore.

$$I(f) \approx I(\phi_n) \qquad \phi_n \in \{x_i, y_i\}, \ \ 0 \le i \le n$$    e $$y_i = f(x_i)$$

Sia $\phi_n = \Pi_n$ allora

$$\begin{split} I_n(f) & = \int_a^b \Pi_n(x) \ dx = \int_a^b \... ...{i=0}^ny_i w_i \quad \text{con } w_i = \text{ pesi} \end{split}$$

L'integrale definito del prodotto di Lagrange è detto peso, e il risultato è chiamato somma pesata.

Le formule di quadratura si dividono nelle seguenti famiglie:

• Formule di Newton-Cotes: utilizzano nodi equispaziati. Non sono in generale convergenti.
• Formula di Clenshaw-Curtis: utilizzano i nodi di Chebychev. Convergono per $f \in C^k$ con $k \ge 1$.
• Formule Gaussiane: richiedono una distribuzione speciale dei nodi.

Le formule algebriche sono, per costruzione, esatte (l'errore è nullo) sui polinomi di grado $\le n$ (la funzione interpolatoria è il polinomio stesso).

Le formule gaussiane sono esatte fino al grado $2n+1$ ma chiedono una scelta ``specialissima'' dei nodi di campionamento.

Nelle formule di Clenshaw-Curtis e in quelle Gaussiane i pesi sono positivi ($w_i \ge 0$).